Archives par mot-clé : pythagore

Gamme pythagoricienne

Lors des derniers posts, on s’est quitté sur des considérations d’encodage de caractère, de détection de langue et d’API REST. Comme on dit en Papouasie-Nouvelle-Guinée: « Time flies » !

Pendant cet épisode silencieux, une événement s’est produit: j’ai découvert la guitare (un instrument de musique généralement à six cordes). Le silence était donc tout à fait relatif, le reste de la maison peut en témoigner… Bon, bref, l’objectif ici n’est pas de m’épancher sur ma nouvelle vie de rock star (auprès des mes chats, ça fonctionne bien) mais de partager ce que j’ai découvert en essayant de comprendre tout ce qui m’apparaissait arbitraire derrière les concepts de gamme, de ton, de demi-ton. Et pourquoi 12 demis tons (pourquoi pas 10 ou 16). Et puis, entre mi et fa, pourquoi ce hiatus impromptu? Comme on dit aux Malouines: « First things first« , alors commençons par le commencement.

Pour tout individu ayant été un tant soit peu en contact avec la musique occidentale, il y a 7 notes, soit Do, , Mi, Fa, Sol, La et Si en suivant la nomination de Guido , ou C, D, E, F, G, A et B selon la notation anglo-saxonne.  Après on recommence. Mais en plus aiguë. On repart de Do mais une octave au-dessus. D’autres systèmes existent mais ce n’est pas l’objet de cet article.

Tout de suite, on se dit hé, ben ouais, 7 notes, comme les 7 jours de la semaine, les 7 péchés capitaux, les 7 plaies d’Égypte, les 7 nains de Blanche-Neige, les 7 doigts de la mains, les 7 commandements, les 77 dalmatiens, etc. Je m’emporte. C’est un peu vrai. N’empêche que les trucs un peu cool et mystérieux viennent souvent en bande de 7 (comme les Tortues Ninja, les mousquetaires, les saisons , les 7 tomes d’Harry Potter, le 7e ciel, les atomes de carbone dans l’heptane et le Supplique pour être enterré à la plage de Sète).

Donc, on se dit « héhé, 7 c’est cool, c’est un nombre premier sûr, c’est un peu mystiquifianisant, etc. c’est pour ça qu’il y a sept notes dans notre gamme ». Comme aurait dit Ovide: « Que nenni! » En fait l’explication est ailleurs.

Bien qu’il y ait plusieurs sortes de gammes, il y a un principe généralement admis: quand on double la fréquence d’une note, on retombe sur la même note en plus aiguë (augmentée d’une octave). Corollaire: en divisant par deux la fréquence d’une note, on reste sur la même note mais une octave plus basse.

Par exemple, si on part du La à 440 Hertz on trouve:

\(440 Hz \times 2 = 880 Hz\) fréquence du La suivant. Aussi \(\frac{440 Hz}{2} = 220 Hz\): fréquence du La plus grave.

Description
Illustration de la plage de fréquence d’une octave

Donc, entre deux notes identiques séparées d’une octave on a un intervalle de fréquence. Intervalle à diviser (couper en rondelles) pour obtenir des notes intermédiaire. On pourrait tous diviser cet intervalle en \(2, 3, 7, 12, 17, 32\) ou n’importe quel nombre et inventer son système musical personnel. C’est un peu ce qu’a fait notre ami Pythagore.

Après avoir savamment observé son monocorde favori, il s’aperçut que les notes étaient rarement pures. Une note pure est produite par une onde sinusoïdale  unique, qui oscille à une fréquence audible, ce qui pour l’humain correspond grosso modo à la plage \(20 Hz-20 kHz\). En fait, de façon naturelle, un corps vibrant génère des harmoniques, c’est à dire des notes secondaires particulières. Sans doute parce qu’elles sont naturelles et qu’on les retrouve un peu partout un peu tout le temps, l’oreille humaine y trouve un certain réconfort. Une certaine harmonie.

Harmoniques

Les harmoniques sont des multiples entier d’une fréquence de base. Si notre fréquence de base est <e\(f\), les harmoniques seront \(0 f, 1f, 2f, 3f, 4f, 5f\), etc. Chacun des harmoniques (si si, harmonique est masculin). Par exemple, un son à \(0 Hertz\) produira respectivement les harmoniques de fréquences suivantes: \(0 Hz, 0 Hz, 0 Hz, 0 Hz\), etc. En d’autre mots: s’il n’y a pas de source sonore ,il n’y a pas d’harmoniques. C’est plutôt rassurant et corrobore plusieurs lois physiques, notamment en rapport avec la conservation de l’énergie.

Comme les premiers harmoniques ont tendances à être de plus forte amplitude que ceux plus loin dans le spectre, on se concentre généralement sur ces derniers.

Si on se concentre sur les premiers entiers naturels, on a 0, 1, 2, 3, 4, 5.

  • \(0 f\), c’est un peu intérêt et on ne peut pas en faire grand chose.
  • \(1 f\) s’appelle fondamentale puisque c’est la fréquence de base. Le fondement. On se rappelle que 1 est l’élément neutre de la multiplication, ce qui veut dire que \(1 \times f = f\). C’est d’ailleurs aussi vrai pour quelques autres valeurs tel que le rappelle le tableau ci-dessous.
Tableau de la multiplication par 1 de nombres célèbres
Une fois Nombre Résultat
1 X 0 0
1 X +∞ +∞
1 X -∞ -∞
1 X NaN NaN
  • \(2 f\), on l’a déjà rencontré, c’est la même note mais à l’octave. Comme c’est la même note, ce n’est d’aucune utilité pour construire une gamme.
  • \(3 f\) est le premier harmonique intéressant. Comme c’est le 3e, on l’appelle quinte. (En fait, il y a une autre raison qu’on verra plus loin). C’est le premier et le plus simple. C’est avec lui qu’on va construire notre gamme.
  • \(4 f\) est le double de 2f, donc l’octave de l’octave. Si on était parti du La à \(440 Hz\), on serait maintenant sur le La \( \left(2 \times 440 Hz \right) \times 2\), soit un La de \(1760 Hz\). Comme on reste encore sur la même note, ce n’est toujours pas utile pour notre gamme.
  • \(5 f\) est le second harmonique à produire une nouvelle note. Comme c’est le 5e harmonique, on l’a naturellement nommé tierce. D’ailleurs, en plus de faire des gammes, Pythagore faisait des accords (avec des orchestres de monocordes?) et ce qu’on appelle accord parfait est justement composé de la fondamentale, de la tierce et de la quinte.
Nomenclature des premiers harmoniques
0f 1f 2f 3f 4f 5f
rien  la fondamentale l’octave la quinte l’octave de l’octave (2X2f) la tierce

 

Une fois tout ça en place, on va se concentrer sur la quinte: le troisième harmonique, soit le premier harmonique à produire une nouvelle note.

Cette note de fréquence \(3 f\) est supérieure à \(2 f\). (on se souviendra que \(3 \gt 2\) et que \( f\) est strictement positif). Elle est donc en dehors de l’intervalle \(\left[f, 2f \right]\) sur lequel on veut construire une gamme. Heureusement, grâce à une propriété énoncée plus haut, on sait que cette note existe aussi sur une octave plus basse (plus grave). Pour descendre d’une octave on divise par 2 la fréquence, par conséquent \(3 f\) et \(\frac{3}{2}f\) sont une seule et même note (à l’octave près). Bien sûr, \(\frac{3}{2}f\) = \(1.5 f\); ce qui tombe bien sur une fréquence comprise entre \(f\)et \(2 f\). On a enfin généré une première nouvelle note pour notre gamme. Si la note de départ était un Do, 3/2f tombera sur le Sol. Do, , Mi, Fa, Sol: Il y a 5 notes entre Do et Sol, on appelle donc ça une pinte quinte. En fait, il n’y a que trois notes entre Do et Sol. Mais bon, pour aller de Do à Sol, il faut bien dire Do, , Mi, Fa, Sol, ce qui nécessite 5 notes. C’est comme ça qu’on en arrive à nommer le produit du 3e harmonique «quinte».

Grayé de cet algorithme, on peut réitérer de façon récursive le processus. On prend la quinte de notre quinte. Partant de Sol = \( \frac{3}{2}f \), on trouve \( 3\times \left( \frac32 \right) f = \frac92 f \). Pour revenir dans l’intervalle \(\left[f, 2f \right]\) on peut diviser par deux autant de fois que l’on veut, en l’occurrence ici on le fera deux fois pour s’arrêter à  \(\frac98f = 1,125f\). On a donc une série de multiplications par 3 des fréquences et de divisions par 2 pour ramener la note dans l’intervalle de l’octave. Dit autrement, la fréquence de chaque note dans notre gamme basées sur les quintes successives a la forme
$$\left(\frac{3^n}{2^m}\right)f$$

Illustration de la position des notes en fonction de leur fréquence
Répartition des notes sur une octave

 

p.s.: cet article est resté à l’état de brouillon depuis longtemps,  trop longtemps. Le choix éditorial du jour est donc de le publier en l’état. Sans toutes le conclusions sur les gammes tempérées ou non, sur la quinte du loup et sans les tables où l’on peut voir la correspondance entre Hertz et note. Ces dernières tergiversations pourront toujours venir en complément.